FUNGSI DAN GRAFIK LOGARITMA

 

 

FUNGSI DAN GRAFIK LOGARITMA

Diajukan Untuk Melengkapi  Tugas-Tugas

Matakuliah Pendidikan Matematika

Universitas Wiralodra Indramayu

Disusun oleh :

Yona Mahendra

Kelas c

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

UNIVERSITAS WIRALODRA INDRAMAYU

2009

FUNGSI LOGARITMA

DAN GRAFIK FUNGSI LOGARITMA

A. Fungsi Logaritma

Apabila terdapat fungsi eksponen  f  yang memetakan bilangan real  x  ke  a^x (ditulis f(x) = a^x, dengan a > 0 dan a ≠ 1), inversnya adalah fungsi logaritma  g  yang mengawankan bilangan real  x  ke   (ditulis  g(x) = ).

Misalkan diketahui fungsi  f(x) = 3^x  dengan daerah asal (domain) D_f  = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 }. Hubungan antara x dengan f(x) = 3^x  dapat dilihat dalam tabel berikut.

Tabel 1

X	-3	-2	-1	0	1	2	3
f(x) = 3x	1/27	1/9	1/3	1	3	9	27

Pada tabel terlihat adanya korespondensi satu-satu antara  x  dan f(x) = 3^x. Sehingga dapat dikatakan bahwa fungsi eksponen f(x) = 3^x  merupakan fungsi bijektif. Karena  f(x) = 3^x merupakan fungsi bijektif, terdapat fungsi invers  f^-1 yang memetakan setiap anggota {¹/₂₇, ¹/₉, ¹/₃, 1, 3, 9, 27} dengan tepat satu anggota {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} seperti diperlihatkan pada tabel berikut.

Tabel 2

f(x)= 3x	1/27	1/9	1/3	1	3	9	27
g(x)	-3	-2	-1	0	1	2	3

 Jika fungsi invers dari f(x) = 3^x disebut fungsi g(x). Dengan demikian, g(x) dapat ditentukan sebagai berikut.

Jadi, invers dari f(x) = 3^x adalah g(x) = f^-1(x) = ³log x yang merupakan fungsi logaritma dengan bilangan pokok 3.

Berdasarkan uraian diatas, pengertian fungsi logaritma adalah suatu fungsi yang memetakan setiap  x  bilangan real dengan aturan g(x) = ^alog x,  x > 0, a > 0, a ≠ 1.

C.  Grafik Fungsi Logaritma

Untuk menggambar grafik fungsi logaritma, dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut.

      Langkah 1: Buatlah tabel yang menghubungkan x dengan y = f(x) = ^alog x,  yaitu dengan memilih beberapa nilai x sehingga y dapat ditentukan.

      Langkah 2: Gambarlah titik-titik (x, y) yang diperoleh dari langkah 1 pada bidang Cartesius, kemudian hubungkan titik-titik tersebut dengan kurva yang mulus sehingga diperoleh grafik fungsi logaritma.

     Dengan mengetahui bentuk grafik fungsi logaritma, kita dapat menentukan sifat-sifat fungsi logaritma tersebut.

      1.   Grafik Fungsi Logaritma y = f(x) = ^alog x dengan Basis a > 1

 Contoh :

      1.   Gambarlah grafik fungsi y = f(x) = ²log x.

Penyelesaian:

      Langkah 1 :

      Tabel fungsi  y = f(x) = ²log x adalah sebagai berikut.

Tabel 3

x	…	8	4	2	1	½	¼	⅛	…
f(x) = 2log x	…	3	2	1	0	-1	-2	-3	…

           

Langkah 2: Membuat grafiknya

  

Gambar 1                                     

Dari Gambar 1 tampak bahwa domain fungsi f(x) =  ²log x adalah himpunan bilangan real positif atau D_f  = { x | x > 0,   x є R }, sedangkan range-nya adalah himpunan bilangan real.

      Dengan memperhatikan contoh di atas, tampak bahwa fungsi logaritma 

y = f(x) = ^alog x, dengan a > 1,

merupakan fungsi naik karena untuk x₁ ≤  x₂ maka  ^alog x₁ ≤  ^alog x₂.

2.      Grafik Fungsi Logaritma y = f(x) = ^alog x dengan Basis 0 < a < 1

Grafik fungsi logaritma dengan basis 0 < a < 1 dapat digambarkan dengan memilih beberapa nilai x sehingga nilai y = ^alog x dapat ditentukan. Kemudian, pasangan nilai tersebut digambar dalam diagram Cartesius dan dihubungkan dengan sebuah kurva mulus.

      Contoh :

1. Gambarlah grafik fungsi logaritma  y = f(x) = ^½log x.

            Penyelesaian:

    Buat tabel  f(x) = ^½log x  terlebih dahulu.

Tabel 5

x	…	⅛	¼	½	1	2	4	8	…
f(x) = ½log x	…	3	2	1	0	-1	-2	-3	…

    Kemudian buatlah grafiknya

 

Gambar 2

     Dengan memperhatikan contoh di atas, tampak bahwa fungsi logaritma

 f(x) = ^alog x  dengan 0 < a < 1

adalah fungsi turun karena x₁ ≤ x₂  maka  ^alog x₁ ≥  ^alog x₂.               

3.      Hubungan Grafik Fungsi  f(x) = ^alog x dengan  g(x) = ^1/alog x

Jika grafik y = f(x) = ²log x dan grafik fungsi y = g(x) = ^½log x digambarkan dalam satu bidang koordinat, gambar grafiknya adalah sebagai berikut.

 

 

Gambar 3

            Dari gambar diatas, dapat dikatakan bahwa:

a.       Grafik fungsi logaritma f(x) = ^alog x dan g(x) = ^1/alog x simetri terhadap sumbu X. Hal ini berarti bahwa fungsi g(x) =  ^1/alog x dapat diperoleh dengan mencerminkan grafik  f(x) = ^alog x terhadap sumbu X atau sebaliknya.

b.      Grafik fungsi  f(x) = ^alog x dan grafik fungsi g(x) = ^1/alog x melalui titik (1, 0).

c.       Grafik fungsi f(x) = ^alog x dan grafik fungsi g(x) = ^1/alog x selalu barada di sebelah kanan sumbu Y.

d.      Daerah asal kedua fungsi adalah himpunan bilangan real positif atau  D = (0, ∞) dan daerah hasilnya adalah R = (-∞, ∞).

e.       Fungsi  f(x) = ^alog x merupakan fungsi naik dan fungsi g(x) = ^1/alog x merupakan fungsi turun.

f.        Grafik fungsi f(x) = ^alog x dan grafik fungsi g(x) = ^1/alog x tidak pernah memotong sumbu Y, tetapi terus-menerus mendekatinya. Oleh karena itu, sumbu Y merupakan asimtot tegak bagi kedua grafik fungsi tersebut.

                                                                                                              

4.      Hubunga Grafik Fungsi f(x) = a^x  dengan g(x) = ^alog x

Jika grafik fungsi y = f(x) = 2^x  dan y = g(x) = ²log x, serta grafik y = f(x) = 2^x  dan    y = g(x) = ²log x digambarkan dalam satu bidang koordinat Cartesius, maka hasilnya adalah sebagai berikut. 

► Grafik fungsi y = f(x) = 2^x  dan y = g(x) = ²log x

Tabel 6

x	…	-3	-2	-1	0	1	2	3	…
f(x) = 2x	…	⅛	¼	½	1	2	4	8	…

►Gambar Grafiknya

                     





   Gambar 4

                                          Dari gambar diatas, dapat dikatakan bahwa: 

a.       Grafik fungsi logaritma f(x) = a^x dan g(x) = ^alog x simetri terhadap sumbu y = x. Hal ini berarti bahwa fungsi g(x) =  ^alog x dapat diperoleh dengan mencerminkan grafik  f(x) = a^x terhadap garis y = x atau sebaliknya.

b.      Grafik fungsi f(x) = a^x dan grafik fungsi g(x) = ^alog x tidak pernah memasuki kuadran III.

5.      Hubunga Grafik Fungsi f(x) = a^x  dengan g(x) = ^1/alog x

Jika grafik fungsi y = f(x) = 2^x  dan y = g(x) = ^½log x, serta grafik y = f(x) = 2^x  dan    y = g(x) = ^½log x digambarkan dalam satu bidang koordinat Cartesius, maka hasilnya adalah sebagai berikut. 

► Grafik fungsi y = f(x) = 2^x  dan y = g(x) = ^½log x

►Gambar Grafiknya

                      



  Gambar 5

 

 Dari gambar diatas, dapat dikatakan bahwa: 

a.       Grafik fungsi logaritma g(x) = ^alog x merupakan hasil dari grafik fungsi f(x) = a^x yang dirotasi sejauh – 90^o (R_–90^o) atau sebaliknya.

b.      Grafik fungsi f(x) = a^x dan grafik fungsi g(x) = ^alog x tidak pernah memasuki kuadran

Uunduh RPP Kelas 1 untuk Paktek lengkap klik link di sini :
http://www.4shared.com/account/dir/xT4kz5cw/_online.html#dir=612751197