Translate

Sabtu, 15 Desember 2012

FUNGSI DAN GRAFIK LOGARITMA



 

 

FUNGSI DAN GRAFIK LOGARITMA


Diajukan Untuk Melengkapi  Tugas-Tugas


Matakuliah Pendidikan Matematika

Universitas Wiralodra Indramayu

Disusun oleh :
Yona Mahendra
Kelas c

Unwir

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

UNIVERSITAS WIRALODRA INDRAMAYU

2009



FUNGSI LOGARITMA
DAN GRAFIK FUNGSI LOGARITMA
A. Fungsi Logaritma
Apabila terdapat fungsi eksponen  f  yang memetakan bilangan real  x  ke  ax (ditulis f(x) = ax, dengan a > 0 dan a ≠ 1), inversnya adalah fungsi logaritma  g  yang mengawankan bilangan real  x  ke   (ditulis  g(x) ).
Misalkan diketahui fungsi  f(x) = 3x  dengan daerah asal (domain) Df  = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 }. Hubungan antara x dengan f(x) = 3x  dapat dilihat dalam tabel berikut.
Tabel 1
X
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x) = 3x
1/27
1/9
1/3
1
3
9
27
Pada tabel terlihat adanya korespondensi satu-satu antara  x  dan f(x) = 3x. Sehingga dapat dikatakan bahwa fungsi eksponen f(x) = 3x  merupakan fungsi bijektif. Karena  f(x) = 3x merupakan fungsi bijektif, terdapat fungsi invers  f-1 yang memetakan setiap anggota {1/27, 1/9, 1/3, 1, 3, 9, 27} dengan tepat satu anggota {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} seperti diperlihatkan pada tabel berikut.
Tabel 2
f(x)= 3x
1/27
1/9
1/3
1
3
9
27
g(x)
-3
-2
-1
0
1
2
3
 Jika fungsi invers dari f(x) = 3x disebut fungsi g(x). Dengan demikian, g(x) dapat ditentukan sebagai berikut.













Jadi, invers dari f(x) = 3x adalah g(x) = f-1(x) = ³log x yang merupakan fungsi logaritma dengan bilangan pokok 3.
Berdasarkan uraian diatas, pengertian fungsi logaritma adalah suatu fungsi yang memetakan setiap  x  bilangan real dengan aturan g(x) = alog x,  x > 0, a > 0, a ≠ 1.

C.  Grafik Fungsi Logaritma
Untuk menggambar grafik fungsi logaritma, dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut.
      Langkah 1: Buatlah tabel yang menghubungkan x dengan y = f(x) = alog x,  yaitu dengan memilih beberapa nilai x sehingga y dapat ditentukan.
      Langkah 2: Gambarlah titik-titik (x, y) yang diperoleh dari langkah 1 pada bidang Cartesius, kemudian hubungkan titik-titik tersebut dengan kurva yang mulus sehingga diperoleh grafik fungsi logaritma.
     Dengan mengetahui bentuk grafik fungsi logaritma, kita dapat menentukan sifat-sifat fungsi logaritma tersebut.
      1.   Grafik Fungsi Logaritma y = f(x) = alog x dengan Basis a > 1
 Contoh :
      1.   Gambarlah grafik fungsi y = f(x) = 2log x.
Penyelesaian:
      Langkah 1 :
      Tabel fungsi  y = f(x) = 2log x adalah sebagai berikut.
Tabel 3
x
8
4
2
1
½
¼
f(x) = 2log x
3
2
1
0
-1
-2
-3
           
Langkah 2: Membuat grafiknya
  







Gambar 1                                     
Dari Gambar 1 tampak bahwa domain fungsi f(x) =  2log x adalah himpunan bilangan real positif atau Df  = { x | x > 0,   x є R }, sedangkan range-nya adalah himpunan bilangan real.
      Dengan memperhatikan contoh di atas, tampak bahwa fungsi logaritma 
y = f(x) = alog x, dengan a > 1,
merupakan fungsi naik karena untuk x1 ≤  x2 maka  alog x1 ≤  alog x2.

2.      Grafik Fungsi Logaritma y = f(x) = alog x dengan Basis 0 < a < 1
Grafik fungsi logaritma dengan basis 0 < a < 1 dapat digambarkan dengan memilih beberapa nilai x sehingga nilai y = alog x dapat ditentukan. Kemudian, pasangan nilai tersebut digambar dalam diagram Cartesius dan dihubungkan dengan sebuah kurva mulus.
      Contoh :
  1. Gambarlah grafik fungsi logaritma  y = f(x) = ½log x.
            Penyelesaian:
    Buat tabel  f(x) = ½log x  terlebih dahulu.
Tabel 5
x
¼
½
1
2
4
8
f(x) = ½log x
3
2
1
0
-1
-2
-3
    Kemudian buatlah grafiknya




 







Gambar 2

     Dengan memperhatikan contoh di atas, tampak bahwa fungsi logaritma
 f(x) = alog x  dengan 0 < a < 1
adalah fungsi turun karena x1x2  maka  alog x1 ≥  alog x2.               

3.      Hubungan Grafik Fungsi  f(x) = alog x dengan  g(x) = 1/alog x
Jika grafik y = f(x) = 2log x dan grafik fungsi y = g(x) = ½log x digambarkan dalam satu bidang koordinat, gambar grafiknya adalah sebagai berikut.
 




 



Gambar 3
            Dari gambar diatas, dapat dikatakan bahwa:
a.       Grafik fungsi logaritma f(x) = alog x dan g(x) = 1/alog x simetri terhadap sumbu X. Hal ini berarti bahwa fungsi g(x) =  1/alog x dapat diperoleh dengan mencerminkan grafik  f(x) = alog x terhadap sumbu X atau sebaliknya.
b.      Grafik fungsi  f(x) = alog x dan grafik fungsi g(x) = 1/alog x melalui titik (1, 0).
c.       Grafik fungsi f(x) = alog x dan grafik fungsi g(x) = 1/alog x selalu barada di sebelah kanan sumbu Y.
d.      Daerah asal kedua fungsi adalah himpunan bilangan real positif atau  D = (0, ∞) dan daerah hasilnya adalah R = (-∞, ∞).
e.       Fungsi  f(x) = alog x merupakan fungsi naik dan fungsi g(x) = 1/alog x merupakan fungsi turun.
f.        Grafik fungsi f(x) = alog x dan grafik fungsi g(x) = 1/alog x tidak pernah memotong sumbu Y, tetapi terus-menerus mendekatinya. Oleh karena itu, sumbu Y merupakan asimtot tegak bagi kedua grafik fungsi tersebut.


                                                                                                              
4.      Hubunga Grafik Fungsi f(x) = ax  dengan g(x) = alog x
Jika grafik fungsi y = f(x) = 2x  dan y = g(x) = 2log x, serta grafik y = f(x) = 2x  dan    y = g(x) = 2log x digambarkan dalam satu bidang koordinat Cartesius, maka hasilnya adalah sebagai berikut. 
► Grafik fungsi y = f(x) = 2x  dan y = g(x) = 2log x
Tabel 6
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x) = 2x
¼
½
1
2
4
8
►Gambar Grafiknya

                     





   Gambar 4



                                          Dari gambar diatas, dapat dikatakan bahwa: 
a.       Grafik fungsi logaritma f(x) = ax dan g(x) = alog x simetri terhadap sumbu y = x. Hal ini berarti bahwa fungsi g(x) =  alog x dapat diperoleh dengan mencerminkan grafik  f(x) = ax terhadap garis y = x atau sebaliknya.
b.      Grafik fungsi f(x) = ax dan grafik fungsi g(x) = alog x tidak pernah memasuki kuadran III.



5.      Hubunga Grafik Fungsi f(x) = ax  dengan g(x) = 1/alog x
Jika grafik fungsi y = f(x) = 2x  dan y = g(x) = ½log x, serta grafik y = f(x) = 2x  dan    y = g(x) = ½log x digambarkan dalam satu bidang koordinat Cartesius, maka hasilnya adalah sebagai berikut. 
► Grafik fungsi y = f(x) = 2x  dan y = g(x) = ½log x
►Gambar Grafiknya

                      



  Gambar 5




 




 Dari gambar diatas, dapat dikatakan bahwa: 
a.       Grafik fungsi logaritma g(x) = alog x merupakan hasil dari grafik fungsi f(x) = ax yang dirotasi sejauh – 90o (R–90o) atau sebaliknya.
b.      Grafik fungsi f(x) = ax dan grafik fungsi g(x) = alog x tidak pernah memasuki kuadran



Uunduh RPP Kelas 1 untuk Paktek lengkap klik link di sini :
http://www.4shared.com/account/dir/xT4kz5cw/_online.html#dir=612751197